Una exploración interactiva y profunda.
¡Bienvenido al fascinante mundo del cálculo complejo! Esta página está diseñada para llevarte de la mano desde los conceptos básicos de los números reales hasta las propiedades alucinantes de los mapeos conformes.
¿Cómo usar este sitio?
El límite de una función real $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$
en un punto $a$ describe el valor al que se acercan las imágenes $f(x)$ cuando los
valores de $x$ se aproximan a $a$. Decimos que $$\lim_{x \to a} f(x) = L$$ si,
para
cada número real $\varepsilon > 0$, existe otro número $\delta > 0$ tal que: $$0 <
|x - a| < \delta \quad \Rightarrow \quad |f(x) - L| < \varepsilon.$$ Esto significa
que podemos garantizar que $f(x)$ esté tan cerca de $L$ como deseemos (a una
distancia menor que $\varepsilon$), siempre que tomemos los valores de $x$
suficientemente próximos a $a$ (dentro de una distancia menor que $\delta$).
Visualmente,
alrededor de $x = a$ existe un intervalo de radio $\delta$
dentro
del cual los valores de la función permanecen dentro de una banda horizontal
de
radio $\varepsilon$ centrada en $L$. El límite no depende
del
valor de la función en $a$, sino del comportamiento de $f(x)$
*cuando
se aproxima* a $a$.
La función $f$ es continua en un punto $a$ si: $$\lim_{x
\to a} f(x) = f(a).$$ Es decir, el valor al que tiende $f(x)$ cuando $x$ se
aproxima a
$a$ coincide exactamente con el valor que la función toma en ese
punto.
Intuitivamente, la continuity asegura que no hay saltos ni
interrupciones en el comportamiento local de la función. No se trata de
"dibujar sin levantar el lápiz", sino de que el límite exista y coincida con el
valor de la función en ese punto.
Se dice que una función es
continua en un conjunto $A \subseteq \mathbb{R}$ si es continua en
cada punto de $A$.
Idea principal: La derivada $f'(x)$ responde a una pregunta
esencial: ¿cómo cambia una función cuando su entrada varía
ligeramente?
Si tomamos dos puntos cercanos, $(x, f(x))$ y $(x + h,
f(x
+ h))$, la recta que los une tiene pendiente: $$m_{\text{secante}} = \frac{f(x + h) -
f(x)}{h}.$$ Cuando $h$ tiende a 0, esta secante se aproxima a la recta
tangente, cuya pendiente define la derivada: $$f'(x) = \lim_{h \to 0}
\frac{f(x
+ h) - f(x)}{h}.$$ Para que este límite exista, la pendiente debe acercarse al mismo
valor
desde ambos lados (izquierda y derecha). Si coinciden, la derivada existe; si difieren,
la
función tiene un "quiebre" o una esquina y no es derivable.
Así, la derivada
combina
dos perspectivas equivalentes:
Idea principal: Una función diferenciable es localmente lineal. Si hacemos suficiente zoom en su gráfica, se vuelve casi indistinguible de una línea recta. Esta idea se expresa con la aproximación lineal: $$f(x + h) \approx f(x) + f'(x)h.$$ Aquí, el término $f'(x)h$ representa el cambio aproximado de la función ante un desplazamiento horizontal pequeño $h$. La derivada actúa como un traductor entre desplazamientos en $x$ y cambios en $f(x)$, de forma lineal.
Idea principal: Al pasar de una sola dimensión a dos, la
línea
se convierte en un plano. Ahora, para ubicar un punto, necesitamos
dos números reales. Cada punto se representa como un par
ordenado $(x, y)$, donde x indica la posición horizontal y
y
la vertical.
La distancia entre dos puntos $(x_1, y_1)$ y
$(x_2,
y_2)$ ya no es un simple valor absoluto, sino que se calcula con el Teorema de
Pitágoras,
dándonos la distancia euclidiana: $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 -
y_1)^2}$$ Así, los números reales se expanden y dan lugar a un espacio
bidimensional continuo, donde cada punto tiene su magnitud, su dirección y
su
propio lugar en el plano.
Para una función de dos variables $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, el límite generaliza la misma idea, pero el acercamiento puede hacerse por cualquier dirección del plano. Decimos que $$\lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y) = L$$ si, para todo $\varepsilon > 0$, existe un $\delta > 0$ tal que: $$0 < \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} < \delta \quad \Rightarrow \quad |f(x, y) - L| < \varepsilon.$$ Geométricamente, los valores de $f(x, y)$ permanecen dentro de una banda de altura $2\varepsilon$ siempre que $(x, y)$ esté dentro de un disco de radio $\delta$ alrededor de $(a, b)$. El límite existe únicamente si todos los caminos que se aproximen a $(a, b)$ conducen al mismo valor $L$. Si distintos caminos dan resultados distintos, el límite no existe.
La función $f$ es continua en un punto $(a, b)$ si: $$ \lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y) = f(a, b).$$ Esto garantiza que el valor de la función en ese punto coincide con el valor al que se aproximan sus imágenes cuando nos acercamos a $(a, b)$ desde cualquier dirección del plano. Geométricamente, esto significa que la superficie $z = f(x, y)$ no presenta saltos ni huecos.
Síntesis Conceptual
En cualquier dimensión, el límite captura la idea de acercarse sin tocar: por cada tolerancia vertical ($\varepsilon$), existe un radio ($\delta$) que garantiza la proximidad deseada. La continuidad es simplemente el caso en que ese límite coincide con el valor real de la función en el punto.
Idea principal: En $\mathbb{R}^2$ la gráfica de $f(x,y)$
es
una superficie. Para entender su cambio local debemos ver cómo se
inclina
esa superficie en distintas direcciones, ya que los cambios pueden venir de infinitas
direcciones.
Si variamos solo $x$ (dejando $y$ fijo) obtenemos la
derivada
parcial respecto a $x$: $$f_x(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.$$
De forma análoga, variando solo $y$ obtenemos la derivada parcial respecto a
$y$: $$f_y(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.$$
Cuando la
función es "suave" (diferenciable), estos cambios encajan en una aproximación lineal
común:
un plano tangente en $(x_0,y_0)$, dado por: $$z \approx f(x_0,y_0) +
f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0).$$ Esta idea de un "mapa de cambios" en 2D,
capturado por las derivadas parciales, será fundamental para entender la derivada
compleja.
Antes de definir nada, hagamos una pausa. Durante siglos, los matemáticos se topaban con raíces cuadradas de números negativos y hacían exactamente lo que haría cualquier persona sensata: tirarlas a la basura. "No tiene solución" era la respuesta estándar. Cardano, en el siglo XVI, las llamaba "sofísticas". Descartes las bautizó como "imaginarias" — y lo dijo como insulto. Leibniz afirmó que eran "un anfibio entre el ser y el no ser".
¿Y entonces por qué los usamos? Porque funcionaban. Al resolver ecuaciones cúbicas, los matemáticos descubrieron algo incómodo: a veces había que pasar por números con raíces negativas en los cálculos intermedios para llegar a una respuesta final que era perfectamente real y correcta. Ignorar esos números intermedios era ignorar la solución.
El salto conceptual llegó cuando Argand (1806) y Gauss (1831) se hicieron la pregunta correcta: en lugar de preguntarse qué son, se preguntaron dónde viven. Y la respuesta fue simple y elegante: en un plano, no en una línea. Los números reales viven en una recta; los números complejos viven en un plano de dos dimensiones. El problema no era de consistencia matemática — era de limitación geométrica.
Gauss además probó algo que cambió todo: el Teorema Fundamental del Álgebra, que dice que toda ecuación polinómica de grado $n$ tiene exactamente $n$ soluciones en $\mathbb{C}$ (contando multiplicidades). Los complejos son, en ese sentido, el sistema numérico completo: no hay ecuación polinómica que te pueda sacar de $\mathbb{C}$. Eso es lo que los hace tan poderosos.
Nota técnica importante: Muchos libros de texto definen $i = \sqrt{-1}$ sin más. Esto es un error conceptual. La raíz cuadrada de un número negativo no está definida antes de construir los complejos. La definición correcta es que $i$ es el par ordenado $(0, 1)$, y que $i^2 = (0,1)(0,1) = (-1, 0) = -1$ se prueba desde la definición del producto complejo. No es un axioma ni una suposición — es un resultado.
Aquí está la construcción limpia. Tomamos el plano $\mathbb{R}^2$ y le definimos dos operaciones:
Suma: $(x, y) + (u, v) = (x + u, y + v)$ — exactamente la suma vectorial.
Producto: $(x, y) \cdot (u, v) = (xu - yv,\; xv + yu)$ — aquí está el truco.
Con estas dos operaciones, $(\mathbb{R}^2, +, \cdot)$ es lo que los matemáticos llaman un cuerpo (o campo): tiene suma, resta, multiplicación y división, todas bien definidas. A este cuerpo lo llamamos $\mathbb{C}$, y a sus elementos los llamamos números complejos.
Ahora viene la simplificación de notación. Identificamos $(x, 0)$ con el número real $x$ (se comportan idénticamente bajo las operaciones). Llamamos $i$ al par $(0, 1)$. Entonces:
$$(x, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy$$Y el producto queda como la fórmula que ya conocías: $(x+iy)(u+iv) = (xu - yv) + i(xv + yu)$.
Las operaciones con números complejos no son meros cálculos algebraicos; cada una corresponde a una transformación geométrica en el plano. Entender esta conexión es clave para desarrollar una intuición visual.
La suma de dos números complejos, $z_1 = a+bi$ y $z_2 = c+di$, se calcula componente a componente, igual que en los vectores de $\mathbb{R}^2$: $$z_1 + z_2 = (a+c) + (b+d)i$$ Geométricamente, esto es la suma de vectores. Si visualizas $z_1$ y $z_2$ como flechas desde el origen, el vector suma $z_1+z_2$ es la diagonal principal del paralelogramo que forman ambos vectores.
Bien, ya dominamos suma y multiplicación. ¿Qué pasa con la división? El problema es que no queremos un número complejo en el denominador — queremos deshacernos de él. La solución es ingeniosa: multiplicar arriba y abajo por el conjugado del denominador.
¿Por qué funciona esto? Porque $z \cdot \bar{z} = (a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2 = |z|^2$, que es un número real no negativo. La multiplicación de un número por su conjugado siempre cancela la parte imaginaria.
$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1}{z_2} \cdot \frac{\bar{z}_2}{\bar{z}_2} = \frac{z_1 \bar{z}_2}{|z_2|^2}$$El denominador queda como un real, y el numerador es una multiplicación que ya sabemos hacer.
Consecuencia directa: El inverso multiplicativo de $z = a + bi \neq 0$ es:
$$z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2}$$Esto es lo que hace a $\mathbb{C}$ un cuerpo: todo elemento no nulo tiene inverso. No como $\mathbb{R}^2$, que es solo un espacio vectorial y no tiene noción interna de "dividir vectores".
Si $z_1 = 2+i$ y $z_2 = 1+3i$, suma:
Estas tres propiedades son los pilares de la geometría compleja:
Esta propiedad parece obvia para módulos, pero su demostración tiene una elegancia particular que vale la pena ver.
Estrategia: En lugar de comparar los módulos directamente, comparamos sus cuadrados (es más fácil trabajar con sumas que con raíces). Si probamos que $|zw|^2 = |z|^2|w|^2$, y como ambos lados son no negativos, al tomar raíces obtenemos $|zw| = |z||w|$.
La clave: $|z|^2 = z\bar{z}$ para cualquier complejo $z$. Verifiquémoslo: si $z = x + iy$, entonces $z\bar{z} = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2 = |z|^2$ ✓.
Ahora:
$$|zw|^2 = (zw)\overline{(zw)}$$El conjugado del producto es el producto de los conjugados: $\overline{zw} = \bar{z}\bar{w}$. Esto se verifica directamente: si $z = a+bi$ y $w = c+di$, entonces $zw = (ac-bd) + i(ad+bc)$, y su conjugado es $(ac-bd) - i(ad+bc) = (a-bi)(c-di) = \bar{z}\bar{w}$.
Entonces:
$$|zw|^2 = zw\bar{z}\bar{w} = (z\bar{z})(w\bar{w}) = |z|^2|w|^2 = (|z||w|)^2$$Como $|zw| \geq 0$ y $|z||w| \geq 0$, tomando raíces cuadradas positivas:
$$\boxed{|zw| = |z||w|}$$Una observación bonita: esta propiedad dice que el módulo es un homomorfismo de grupos: convierte la multiplicación de complejos en multiplicación de reales positivos. ■
Esta es la desigualdad más usada en análisis complejo. Aparece en demostraciones de convergencia, en acotaciones de integrales, en todo. Merece verse despacio.
Interpretación geométrica primero: Si piensas en $z$ y $w$ como vectores en el plano, $z+w$ es la diagonal del paralelogramo que forman. La desigualdad triangular dice que la diagonal nunca supera la suma de los lados — exactamente la regla del triángulo en geometría elemental.
Demostración algebraica: De nuevo, comparamos cuadrados. Queremos probar $|z+w|^2 \leq (|z|+|w|)^2$.
Paso 1: Expandir $|z+w|^2$ usando el truco $|z|^2 = z\bar{z}$:
$$|z+w|^2 = (z+w)\overline{(z+w)} = (z+w)(\bar{z}+\bar{w}) = z\bar{z} + z\bar{w} + w\bar{z} + w\bar{w} = |z|^2 + |w|^2 + z\bar{w} + \overline{z\bar{w}}$$Paso 2: Usar que $z + \bar{z} = 2\text{Re}(z)$ para cualquier $z$. Entonces $z\bar{w} + \overline{z\bar{w}} = 2\text{Re}(z\bar{w})$.
$$|z+w|^2 = |z|^2 + |w|^2 + 2\text{Re}(z\bar{w})$$Paso 3: Usar que la parte real nunca supera el módulo: $\text{Re}(z\bar{w}) \leq |z\bar{w}| = |z||\bar{w}| = |z||w|$.
$$|z+w|^2 \leq |z|^2 + |w|^2 + 2|z||w| = (|z| + |w|)^2$$Tomando raíces (ambos lados son no negativos):
$$\boxed{|z+w| \leq |z| + |w|}$$¿Cuándo hay igualdad? La igualdad se da cuando $\text{Re}(z\bar{w}) = |z\bar{w}|$, lo que ocurre cuando $z\bar{w}$ es un real positivo. Esto equivale a que $z = \lambda w$ para algún $\lambda \in \mathbb{R}^+$, es decir, cuando $z$ y $w$ apuntan en la misma dirección. Geométricamente, el triángulo se "aplana" y la diagonal es exactamente la suma de los lados. ■
Consecuencia útil: La desigualdad inversa también es importante: $\big||z| - |w|\big| \leq |z - w|$. Intuitivamente: la diferencia de longitudes nunca supera la distancia entre los puntos.
La multiplicación es la operación más reveladora. Usando la forma trigonométrica (o polar) de un número complejo, $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$, la regla se vuelve clara. Si tenemos dos números:
El producto es:
Esto nos dice que para multiplicar dos números complejos, multiplicamos sus módulos y sumamos sus argumentos. Es decir, el nuevo número se expande o contrae (Homotecia) y se rota.
Idea principal: Hasta ahora hemos escrito los números complejos en su forma polar como $r\angle\theta$, casi como rueditas de entrenamiento. Llegó el momento de quitárselas.
Alrededor de 1740, Euler descubrió algo que parece un truco de magia pero es una verdad matemática profunda:
¿Qué significa esto en el plano? El número complejo $\cos\theta + i\sin\theta$ es simplemente el punto sobre el círculo unitario con ángulo $\theta$. Euler está diciendo que ese punto se puede escribir como una potencia de $e$.
A partir de aquí, la forma estándar de un número complejo en polar es:
$$z = re^{i\theta}$$donde $r = |z|$ es el módulo y $\theta = \arg(z)$ es el argumento.
¿Por qué hacemos este cambio? No es solo estética. Con la notación exponencial, la multiplicación se vuelve trivialmente obvia gracias a la propiedad $e^a \cdot e^b = e^{a+b}$:
$$(R e^{i\varphi})(r e^{i\theta}) = Rr \cdot e^{i(\varphi+\theta)}$$Los módulos se multiplican y los argumentos se suman, y el álgebra lo hace sola. No necesitamos recordar ninguna regla geométrica porque la aritmética de los exponentes ya la contiene.
Una forma de entender por qué es cierta. Piensa en una partícula que se mueve en el plano complejo siguiendo la posición $Z(t) = e^{it}$. Si extendemos las propiedades de la función exponencial real, su velocidad sería:
$$\frac{d}{dt}Z(t) = i \cdot Z(t)$$Ahora bien, multiplicar por $i$ rota $90^\circ$. Esto quiere decir que la velocidad siempre es perpendicular a la posición. ¿Qué tipo de trayectoria tiene esa propiedad? Un círculo, exactamente. La partícula no se aleja ni se acerca al origen: simplemente gira. Como empieza en $e^{i \cdot 0} = 1$ (radio 1), se mueve sobre el círculo unitario.
Consecuencias inmediatas de la fórmula de Euler:
Las siguientes identidades se obtienen directamente de sumar y restar $e^{i\theta}$ y $e^{-i\theta}$:
$$\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \qquad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$$Y como caso especial con $\theta = \pi$:
Esta es la identidad de Euler, que conecta en una sola expresión los cinco números más fundamentales de las matemáticas.
Idea principal: Con la forma polar $z = re^{i\theta}$, calcular potencias es mecánico: elevas el módulo a la potencia y multiplicas el argumento.
Potencias enteras — La fórmula de De Moivre:
Si $z = re^{i\theta}$, entonces para cualquier entero $n$:
$$z^n = r^n e^{in\theta} = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$$En otras palabras: elevas el módulo a la $n$ y multiplicas el ángulo por $n$. No hay nada más que hacer.
Ejemplo: Calcula $(1+i)^8$.
Primero pasamos a polar: $|1+i| = \sqrt{2}$, $\arg(1+i) = \pi/4$. Entonces $(1+i) = \sqrt{2}\, e^{i\pi/4}$.
$$( \sqrt{2}\, e^{i\pi/4})^8 = (\sqrt{2})^8 \cdot e^{i \cdot 8 \cdot \pi/4} = 16 \cdot e^{i 2\pi} = 16 \cdot 1 = 16$$La potenciación se redujo a dos operaciones aritméticas simples.
Raíces $n$-ésimas — El polígono escondido:
Aquí viene algo visualmente hermoso. Queremos resolver $z^n = w$, es decir, encontrar las raíces $n$-ésimas de un número complejo $w = \rho e^{i\varphi}$.
Si $z = re^{i\theta}$, entonces $z^n = r^n e^{in\theta}$. Igualando con $w$:
Despejando $\theta$:
$$\theta_k = \frac{\varphi + 2k\pi}{n}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n-1$$Las $n$ raíces distintas son:
¿Por qué son exactamente $n$ y no más? Porque cuando $k = n$, el ángulo $\theta_n = \varphi/n + 2\pi$ es exactamente $\theta_0$ más una vuelta completa, y eso nos devuelve al mismo punto.
La geometría es la parte más bonita: Las $n$ raíces son $n$ puntos igualmente espaciados sobre un círculo de radio $\rho^{1/n}$, formando un polígono regular de $n$ lados.
Caso especial — Raíces de la unidad ($w = 1$, $\rho = 1$, $\varphi = 0$):
$$\omega_k = e^{2\pi i k/n}, \quad k = 0, 1, \ldots, n-1$$Son exactamente los vértices de un polígono regular de $n$ lados inscrito en el círculo unitario, con un vértice en $z = 1$.
Ejemplo: Las raíces cúbicas de la unidad ($n=3$) son los vértices de un triángulo equilátero:
$$1, \quad e^{2\pi i/3} = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2}i, \quad e^{4\pi i/3} = -\tfrac{1}{2} - \tfrac{\sqrt{3}}{2}i$$
- Suma: Diagonal de paralelogramo (traslación).
- Conjugado: Reflejo respecto al eje real.
- Producto: Escalar por el módulo y rotar por el argumento.
- $z\overline{z}=|z|^2$: Cancela rotación, deja escala al cuadrado.
Calcula $(3 + 2i)(1 - i) + \dfrac{1 + i}{2 - i}$.
Paso 1: Multiplicación.
$$(3 + 2i)(1 - i) = 3(1) + 3(-i) + 2i(1) + 2i(-i) = 3 - 3i + 2i - 2i^2$$Como $i^2 = -1$: $= 3 - i + 2 = 5 - i$.
Paso 2: División. Multiplicamos arriba y abajo por el conjugado del denominador, $\overline{2-i} = 2+i$:
$$\frac{1 + i}{2 - i} = \frac{(1 + i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{2 + i + 2i + i^2}{4 + 1} = \frac{2 + 3i - 1}{5} = \frac{1 + 3i}{5} = \frac{1}{5} + \frac{3}{5}i$$Paso 3: Suma.
$$(5 - i) + \left(\frac{1}{5} + \frac{3}{5}i\right) = \frac{26}{5} + \left(-1 + \frac{3}{5}\right)i = \frac{26}{5} - \frac{2}{5}i$$Resultado: $\dfrac{26}{5} - \dfrac{2}{5}i$.
Calcula $\text{Re}\!\left(\dfrac{z}{1+z^2}\right)$ e $\text{Im}\!\left(\dfrac{z}{1+z^2}\right)$ para $z = x + iy$.
Estrategia: Separar la expresión en forma $a + bi$ multiplicando por el conjugado del denominador.
Paso 1: Calculamos $1 + z^2$:
$$z^2 = (x+iy)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$$ $$1 + z^2 = (1 + x^2 - y^2) + 2xyi$$Paso 2: El conjugado del denominador es $(1 + x^2 - y^2) - 2xyi$.
Paso 3: Multiplicamos $\bar{z} = x - iy$ (numerador, porque $z/\ldots = \bar{z}/\ldots$ no — tenemos que usar $z$, no $\bar z$):
$$\frac{z}{1+z^2} = \frac{(x+iy)\bigl[(1+x^2-y^2)-2xyi\bigr]}{(1+x^2-y^2)^2 + 4x^2y^2}$$Expandiendo el numerador:
$$= x(1+x^2-y^2) + 2xy^2 + i\bigl[y(1+x^2-y^2) - 2x^2y\bigr]$$ $$= x + x^3 - 3xy^2 + i(y - 3x^2y + y^3) \cdot \frac{1}{\ldots}$$Por tanto:
$$\text{Re}\!\left(\frac{z}{1+z^2}\right) = \frac{x + x^3 - 3xy^2}{(1+x^2-y^2)^2+4x^2y^2}, \qquad \text{Im}\!\left(\frac{z}{1+z^2}\right) = \frac{y - 3x^2y + y^3}{(1+x^2-y^2)^2+4x^2y^2}$$Calcula los números complejos $z$ tales que $w = \dfrac{2z - i}{2 + iz}$ es:
Paso 1: Ponemos $z = x + iy$ y calculamos $w$:
$$w = \frac{2(x+iy) - i}{2 + i(x+iy)} = \frac{2x + i(2y-1)}{(2-y) + ix}$$Paso 2: Separamos multiplicando por el conjugado del denominador, $(2-y) - ix$:
$$w = \frac{[2x + i(2y-1)][(2-y) - ix]}{(2-y)^2 + x^2}$$Numerador:
$$= 2x(2-y) + x(2y-1) + i\bigl[(2y-1)(2-y) - 2x^2\bigr]$$ $$= \text{Re}: \quad 4x - 2xy + 2xy - x = 3x$$ $$= \text{Im}: \quad 4y - 2y^2 - 2 + y - 2x^2 = -2x^2 - 2y^2 + 5y - 2$$Entonces: $w = \dfrac{3x + i(-2x^2 - 2y^2 + 5y - 2)}{(2-y)^2 + x^2}$
(a) $w$ real $\iff$ parte imaginaria $= 0$:
$$-2x^2 - 2y^2 + 5y - 2 = 0 \iff x^2 + \left(y - \frac{5}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$$Los puntos $z$ forman la circunferencia de centro $(0, 5/4)$ y radio $3/4$.
(b) $w$ imaginario puro $\iff$ parte real $= 0$: $3x = 0 \iff x = 0$, es decir, $z$ está en el eje imaginario.
Esta es la tabla que todo alumno debe tener grabada. Si $z = x + iy \neq 0$:
| Cuadrante / Posición | Condición | $\arg(z)$ |
|---|---|---|
| Eje real positivo | $y = 0,\ x > 0$ | $0$ |
| 1er cuadrante | $x > 0$ | $\arctan(y/x)$ |
| Eje imaginario positivo | $x = 0,\ y > 0$ | $\pi/2$ |
| 2do cuadrante | $x < 0,\ y \geq 0$ | $\arctan(y/x) + \pi$ |
| Eje real negativo | $y = 0,\ x < 0$ | $\pi$ |
| 3er cuadrante | $x < 0,\ y < 0$ | $\arctan(y/x) - \pi$ |
| Eje imaginario negativo | $x = 0,\ y < 0$ | $-\pi/2$ |
| 4to cuadrante | $x > 0,\ y < 0$ | $\arctan(y/x)$ |
Ojo: El argumento principal $\arg(z) \in (-\pi, \pi]$. La discontinuidad está en el eje real negativo: el argumento salta de $-\pi$ a $+\pi$ al cruzar ese eje. Esto no es un error del sistema — es inevitable si queremos elegir un argumento en un intervalo de longitud $2\pi$.
Ejemplo concreto: Expresa $-1 + i$ en forma polar.
Forma polar: $-1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\,3\pi/4}$ o equivalentemente $\sqrt{2}\!\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\right)$.
Potencia: Calcula $(1+i)^{25}$.
Paso 1: Forma polar de $(1+i)$.
$$|1+i| = \sqrt{2}, \qquad \arg(1+i) = \frac{\pi}{4} \quad \text{(1er cuadrante)}$$ $$1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$$Paso 2: Aplicar De Moivre.
$$(1+i)^{25} = \bigl(\sqrt{2}\bigr)^{25} e^{i \cdot 25\pi/4} = 2^{25/2}\, e^{i \cdot 25\pi/4}$$Paso 3: Simplificar el ángulo. $25\pi/4 = 6\pi + \pi/4$, y como $e^{i \cdot 6\pi} = 1$:
$$e^{i \cdot 25\pi/4} = e^{i\pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$$Paso 4: Resultado final.
$$2^{25/2} \cdot e^{i\pi/4} = 2^{25/2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i) = 2^{25/2} \cdot 2^{-1/2}(1+i) = 2^{12}(1+i) = 4096(1+i)$$Raíces: Calcula las raíces cúbicas de $z = -8$.
Paso 1: Forma polar de $-8$.
$$|-8| = 8, \qquad \arg(-8) = \pi$$ $$-8 = 8\,e^{i\pi}$$Paso 2: Fórmula de raíces. $n = 3$, $\rho = 8$, $\varphi = \pi$:
$$z_k = 8^{1/3}\, e^{i(\pi + 2k\pi)/3} = 2\,e^{i(\pi + 2k\pi)/3}, \quad k = 0, 1, 2$$Paso 3: Las tres raíces.
Geométricamente: tres puntos sobre el círculo de radio 2, formando un triángulo equilátero. Uno de ellos, $-2$, está en el eje real negativo — tiene sentido porque $(-2)^3 = -8$ ✓.
Idea principal: Al calcular raíces (como $w = z^{1/3}$) o logaritmos, la matemática se vuelve "multivaluada": un solo punto de entrada en $Z$ parece tener varias salidas legítimas en $W$. Geométricamente, lo que ocurre es fascinante.
Imagina que tomas un punto $z$ y le das una vuelta completa (360°) alrededor del origen en el plano $Z$. Para la función $w = z^{1/3}$, el ángulo de salida se divide entre 3. Así que, mientras en el plano de entrada completaste una vuelta y regresaste al mismo punto, en el plano de salida solo giraste 120°. ¡Terminaste en un lugar distinto!
El origen, que es el "agujero negro" causante de este desfase topológico, se conoce como Punto de Ramificación (Branch Point).
*Observa las animaciones de la derecha: fíjate cómo un lazo que rodea el origen salta a otro punto si no hacemos el corte, y cómo las "paredes" de los cortes de rama nos obligan a mantener la consistencia visual de los cuadritos.*
Arrastra los puntos azules y verdes para sumar los vectores $z_1$ y $z_2$.
Idea principal: Antes de hablar de límites y derivadas, necesitamos un lenguaje para describir las regiones del plano donde viven las funciones complejas.
La herramienta clave es el módulo. La expresión $|z - z_0|$ mide la distancia entre el punto $z$ y el punto fijo $z_0$ en el plano complejo. Con eso, podemos describir cualquier figura geométrica en términos puramente algebraicos:
Círculo: El conjunto de puntos a distancia $r$ de $z_0$:
$$|z - z_0| = r$$Es exactamente la circunferencia de radio $r$ centrada en $z_0$.
Disco abierto: El interior del círculo, sin el borde:
$$D(z_0, r) = \{z \in \mathbb{C} : |z - z_0| < r\}$$Disco cerrado: El interior incluyendo el borde:
$$\overline{D}(z_0, r) = \{z \in \mathbb{C} : |z - z_0| \leq r\}$$Semiplanos: La ecuación de la recta real en $\mathbb{R}$ era simplemente $x = a$. En $\mathbb{C}$, los semiplanos se describen con la parte real o imaginaria:
Franjas: Una franja horizontal es la región entre dos rectas horizontales:
$$\{z : a < \text{Im}(z) < b\}$$Una franja vertical, entre dos rectas verticales:
$$\{z : a < \text{Re}(z) < b\}$$Estas regiones aparecen constantemente cuando se trabaja con funciones como la exponencial compleja $e^z$.
Líneas en general: Cualquier recta del plano complejo puede describirse como el conjunto de $z$ que satisfacen $\text{Re}(\bar{\alpha} z) = c$ para algún $\alpha \in \mathbb{C}$ y $c \in \mathbb{R}$.
Ejemplo 1. Describe y esboza $\{z \in \mathbb{C} : |z + 2| \leq 1\}$.
Con $z = x + iy$: $|z+2| = |(x+2) + iy| = \sqrt{(x+2)^2 + y^2} \leq 1$, es decir $(x+2)^2 + y^2 \leq 1$.
Es el disco cerrado de centro $(-2, 0)$ y radio $1$. Incluye el borde (desigualdad no estricta).
Ejemplo 2. Describe $1 < |z + 1 - i| < 2$.
Se escribe como $\rho_1 < |z - z_0| < \rho_2$ con $z_0 = -1 + i$, $\rho_1 = 1$, $\rho_2 = 2$. Es la corona circular (anillo) centrada en $(-1, 1)$ con radio interior 1 y radio exterior 2. Los bordes (las dos circunferencias) no se incluyen.
Ejemplo 3 (región combinada). Describe $\left\{z : |z| \leq 2,\ \dfrac{\pi}{2} \leq \arg(z) \leq \dfrac{3\pi}{4}\right\}$.
Dos condiciones simultáneas:
El resultado es un sector circular: una "porción de tarta" del disco de radio 2, delimitada por las semirrectas en los ángulos $\pi/2$ y $3\pi/4$, y por el arco de círculo. Incluye las semirrectas y el arco (desigualdades no estrictas).
Ejemplo 4 (semiplano con condición sobre el argumento). El conjunto $\{z : -\theta < \arg(z) < \theta\}$ para $\theta \in (0, \pi)$ es un sector angular simétrico respecto al eje real positivo. No incluye las semirrectas frontera ni el origen (donde el argumento no está definido). Este tipo de región aparece constantemente al estudiar ramas del logaritmo.
Ejemplo 5 (comparar partes real e imaginaria). Describe $\{z : \text{Re}(z) \leq \text{Im}(z)\}$.
Con $z = x + iy$: la condición es $x \leq y$. La igualdad $x = y$ es la recta a 45° (la bisectriz del 1er y 3er cuadrante). La desigualdad $x \leq y$ describe todos los puntos a la izquierda (o sobre) esa recta. Es un semiplano delimitado por la recta $y = x$, incluyendo la frontera.
Truco para dibujar cualquier región compleja:
1. Identifica si hay condición sobre $|z - z_0|$ (círculo / disco / corona).
2. Identifica si hay condición sobre $\arg(z)$ (sector).
3. Identifica si hay condición sobre $\text{Re}(z)$ o $\text{Im}(z)$ (semiplano / franja).
4. Superpone todas las condiciones. Los $\leq$ incluyen borde; los $<$ no.
Idea principal: Los conceptos de convergencia que conoces de cálculo real se trasladan al plano complejo casi sin cambios, solo que ahora la "distancia" es el módulo complejo.
Convergencia de una sucesión: Una sucesión $\{z_n\}$ de números complejos converge a $L \in \mathbb{C}$ si:
$$\lim_{n \to \infty} |z_n - L| = 0$$Es decir, los puntos $z_n$ se acercan cada vez más al punto $L$ en el plano. Esto es idéntico a la convergencia en $\mathbb{R}^2$ para pares de coordenadas: si $z_n = x_n + iy_n$ y $L = a + ib$, entonces:
$$z_n \to L \iff x_n \to a \text{ y } y_n \to b \text{ (simultáneamente)}$$Convergencia de una serie: La serie $\sum_{n=0}^{\infty} z_n$ converge si la sucesión de sumas parciales $S_N = \sum_{n=0}^{N} z_n$ tiene límite. Los criterios habituales (comparación, cociente, raíz) funcionan exactamente igual que en el caso real.
Un resultado clave: La serie $\sum_{n=0}^{\infty} z_n$ converge absolutamente si $\sum_{n=0}^{\infty} |z_n| < \infty$, y la convergencia absoluta implica convergencia.
Estas definiciones son el "mapa" que le dice a la función compleja dónde puede trabajar. No son abstracción por el gusto de abstraer: aparecen directamente en los teoremas más importantes del curso.
Conjunto abierto: Un conjunto $A \subseteq \mathbb{C}$ es abierto si cada punto de $A$ tiene un disco abierto a su alrededor que también cabe dentro de $A$. Formalmente: para todo $z_0 \in A$, existe $r > 0$ tal que $D(z_0, r) \subseteq A$.
Intuitivamente: si estás parado en cualquier punto de $A$, puedes moverte un poco en cualquier dirección sin salirte. No hay "bordes" que tocar.
Ejemplos: El semiplano $\{z : \text{Re}(z) > 0\}$ es abierto. El disco abierto $D(0,1)$ es abierto. El disco cerrado $\overline{D}(0,1)$ no es abierto (los puntos del borde no tienen ningún disco entero dentro del conjunto).
Conjunto cerrado: Un conjunto es cerrado si contiene todos sus puntos límite. Equivalentemente, $A$ es cerrado si su complemento $\mathbb{C} \setminus A$ es abierto.
Ejemplos: El disco cerrado $\overline{D}(z_0, r) = \{z : |z-z_0| \leq r\}$ es cerrado. La circunferencia $\{z : |z| = 1\}$ es cerrada.
Acotado: Un conjunto $A$ es acotado si cabe dentro de algún disco suficientemente grande, es decir, existe $M > 0$ tal que $|z| \leq M$ para todo $z \in A$.
Compacto: Un conjunto que es cerrado y acotado al mismo tiempo se llama compacto. Los compactos son los "perfectos" para análisis: contienen sus propios bordes y no se extienden al infinito.
Región (dominio): Un conjunto abierto y conexo (donde cualquier dos puntos se pueden unir con una curva dentro del conjunto). Esta es la "arena" natural para las funciones analíticas.
Idea principal: El plano complejo $\mathbb{C}$ tiene un "punto en el infinito" que podemos agregar de manera geométricamente consistente. El resultado se llama la esfera de Riemann o plano complejo extendido $\hat{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \{\infty\}$.
¿Para qué sirve esto? Hay funciones como $f(z) = 1/z$ que, cuando $z \to 0$, el valor tiende a infinito. En el plano ordinario ese comportamiento queda "fuera del mapa". La esfera de Riemann nos permite hablar de $\infty$ como si fuera un punto más, con límites, continuidad, etc.
La construcción — Proyección estereográfica: Toma una esfera de radio $\frac{1}{2}$ tangente al plano $\mathbb{C}$ por el polo sur $S$. El polo norte es $N$.
Para proyectar un punto $z$ del plano sobre la esfera, traza la recta que une $N$ con $z$. Esa recta corta la esfera en un único punto $P$ (diferente de $N$): ese es la imagen de $z$ en la esfera.
Esta correspondencia es biyectiva entre $\hat{\mathbb{C}}$ y la esfera entera. La esfera de Riemann compactifica el plano de una manera perfectamente simétrica: el infinito ya no es "el borde" sino simplemente otro punto, opuesto al origen.
Una consecuencia práctica: Con este modelo, un "vecindario del infinito" es simplemente el exterior de un disco grande, $\{z : |z| > R\}$. Decir que $\lim_{z \to \infty} f(z) = L$ significa que para $|z|$ suficientemente grande, $f(z)$ está tan cerca de $L$ como se quiera.
Visualiza el plano extendido $\hat{\mathbb{C}}$.
En la recta real, para acercarse a un punto $x_0$ solo existen dos direcciones posibles: desde la izquierda o desde la derecha. En cambio, en el plano complejo, un punto $z_0$ puede alcanzarse desde infinitas trayectorias: líneas rectas, espirales, curvas, o trayectorias arbitrarias.
Por ello, el límite complejo $$\lim_{z \to z_0} f(z) = L$$ existe únicamente si todas las trayectorias posibles que se aproximan a $z_0$ conducen al mismo valor $L$.
En otras palabras, mientras que en el caso real se verifican dos direcciones, en el complejo deben coincidir infinitas.
Sea $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$. Decimos que $$\lim_{z \to z_0} f(z) = L$$ si para todo $\varepsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que, siempre que $0 < |z - z_0| < \delta$, se cumple $$|f(z) - L| < \varepsilon.$$
Geométricamente, esto significa: si dibujamos un círculo de radio $\delta$ alrededor de $z_0$ (sin incluir el centro), la imagen de todos los puntos dentro de ese círculo debe quedar contenida en un círculo de radio $\varepsilon$ alrededor de $L$.
Cuanto más pequeño hagamos el círculo de salida ($\varepsilon$), siempre podemos encontrar un círculo de entrada ($\delta$) que garantice la correspondencia.
Si $z = x + iy$ y $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$, entonces: $$\lim_{z \to z_0} f(z) = L_1 + iL_2$$ si y solo si $$\lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} u(x,y) = L_1, \quad \text{y} \quad \lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} v(x,y) = L_2.$$
Visualmente, puede imaginarse como dos superficies superpuestas sobre el plano $xy$: una para $u(x,y)$ (parte real) y otra para $v(x,y)$ (parte imaginaria). Ambas deben "converger" suavemente a una altura común en el punto $(x_0, y_0)$ para que el límite complejo exista.
La condición $|z - z_0| < \delta$ define un círculo en el plano complejo, que coincide con una bola euclidiana en $\mathbb{R}^2$.
Si el límite complejo existe, entonces: $$|f(z) - L| = \sqrt{(u - L_1)^2 + (v - L_2)^2} < \varepsilon,$$ lo cual implica que $|u - L_1| < \varepsilon$ y $|v - L_2| < \varepsilon$.
De este modo, la existencia del límite complejo garantiza la existencia de los límites reales de sus componentes, y viceversa.
Considérese $$f(z) = \frac{\text{Re}(z^2)}{|z|^2} = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}.$$
Distintas trayectorias hacia $z = 0$ producen distintos valores límite, por lo que el límite no existe.
Geométricamente, la superficie de $f$ se asemeja a una "silla de montar": sube en una dirección y baja en otra.
Si aplicamos $f(z) = z^2$ al plano complejo, una cuadrícula rectangular se transforma suavemente en una red de parábolas.
Para cualquier punto $z_0$, los valores $f(z)$ correspondientes a puntos cercanos permanecen próximos a $f(z_0)$, sin rupturas ni saltos.
Así, $f(z) = z^2$ es continua: todas las trayectorias que convergen a $z_0$ se mapean en trayectorias que convergen a $f(z_0)$.
Idea principal: La continuidad en $\mathbb{C}$ es exactamente la misma idea que en $\mathbb{R}$, solo que ahora la "cercanía" se mide con el módulo complejo.
Una función $f: A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ es continua en $z_0$ si: $$\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)$$
Esto exige tres cosas simultáneamente:
Equivalencia con componentes reales: Si $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$, entonces $f$ es continua en $z_0 = x_0 + iy_0$ si y solo si $u(x,y)$ y $v(x,y)$ son continuas en $(x_0, y_0)$ como funciones reales de dos variables. Esto nos permite usar todo lo que ya sabemos de cálculo multivariable.
Las funciones elementales son continuas: Los polinomios en $z$ son continuos en todo $\mathbb{C}$. Las funciones racionales $p(z)/q(z)$ son continuas en todo $\mathbb{C}$ excepto donde $q(z) = 0$. La exponencial $e^z$, el seno y coseno complejos, etc., son continuos en todo $\mathbb{C}$.
Operaciones que preservan continuidad: Si $f$ y $g$ son continuas en $z_0$, entonces $f + g$, $f \cdot g$, y $f/g$ (si $g(z_0) \neq 0$) también lo son. La composición $f \circ g$ es continua si $g$ es continua en $z_0$ y $f$ es continua en $g(z_0)$.
Si $\lim_{z \to z_0} f(z) = L$ y $\lim_{z \to z_0} g(z) = M$, entonces:
$$\lim_{z \to z_0} [f(z) + g(z)] = L + M$$ $$\lim_{z \to z_0} [f(z) \cdot g(z)] = L \cdot M$$ $$\lim_{z \to z_0} \frac{f(z)}{g(z)} = \frac{L}{M} \quad \text{si } M \neq 0$$ $$\lim_{z \to z_0} c \cdot f(z) = c \cdot L \quad \text{para cualquier } c \in \mathbb{C}$$Estas propiedades nos liberan de volver a la definición épsilon-delta cada vez. La consecuencia más inmediata: cualquier polinomio es continuo, porque puedes calcular su límite simplemente evaluando en $z_0$.
Calcula $\displaystyle\lim_{z \to 1+i} (z^2 - 2z + 3)$.
Como los polinomios son continuos en todo $\mathbb{C}$, simplemente evaluamos:
$$(1+i)^2 - 2(1+i) + 3 = (1 + 2i - 1) - 2 - 2i + 3 = 2i - 2 - 2i + 3 = 1$$Resultado: $1$.
Calcula $\displaystyle\lim_{z \to 2} \frac{z^2 - 4}{z - 2}$.
Si intentamos sustituir directamente, obtenemos $0/0$ — una indeterminación. Factorizamos:
$$\frac{z^2 - 4}{z - 2} = \frac{(z-2)(z+2)}{z-2} = z + 2 \quad \text{(para } z \neq 2\text{)}$$Como el límite no requiere que la función esté definida en $z_0$, solo que se acerque a él:
$$\lim_{z \to 2} \frac{z^2-4}{z-2} = \lim_{z \to 2} (z+2) = 4$$Demuestra que $\displaystyle\lim_{z \to 0} \frac{\overline{z}}{z}$ no existe.
Si el límite existiera, debería ser el mismo para cualquier trayectoria que llegue a 0. Probamos dos:
Camino 1: $z = x$ (eje real, $x \to 0^+$). Entonces $\bar{z} = x$:
$$\frac{\bar{z}}{z} = \frac{x}{x} = 1 \quad \to 1$$Camino 2: $z = iy$ (eje imaginario, $y \to 0^+$). Entonces $\bar{z} = -iy$:
$$\frac{\bar{z}}{z} = \frac{-iy}{iy} = -1 \quad \to -1$$Los dos caminos dan resultados diferentes ($1 \neq -1$), por lo que el límite no existe.
Moraleja: Esto muestra que $f(z) = \bar{z}/z$ no es diferenciable en $z = 0$. La derivada requeriría que este cociente convergiera al mismo valor desde todas las direcciones — y hemos visto que no lo hace. Para verificar la no diferenciabilidad, es más rápido probar dos caminos.
¿Es $f(z) = |z|^2$ continua en $z_0 = 1 + i$?
Con $f(z) = x^2 + y^2$, las funciones $u(x,y) = x^2 + y^2$ y $v(x,y) = 0$ son continuas en todo $\mathbb{R}^2$ (polinomios en $x$ e $y$). Por la equivalencia con componentes reales, $f$ es continua en todo $\mathbb{C}$.
En particular: $\lim_{z \to 1+i} |z|^2 = |1+i|^2 = 1^2 + 1^2 = 2 = f(1+i)$ ✓.
La derivada compleja se define formalmente de manera idéntica a la derivada real:
$$f'(z_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h}$$La diferencia crucial es que $h$ es un número complejo que se acerca a 0. En la recta real, $h$ solo puede acercarse desde dos direcciones (izquierda o derecha). En el plano complejo, $h$ puede acercarse a 0 desde infinitas direcciones: horizontal, vertical, diagonal, en espiral, etc.
Para que la derivada exista, el cociente debe converger al mismo valor límite sin importar la trayectoria de $h$. Esta es una condición tremendamente restrictiva.
Para entender esto intuitivamente, imagina que te sitúas en un punto $z_0$ y dibujas un pequeño vector de desplazamiento $\varepsilon$ apuntando en cualquier dirección. Al aplicar la función $f$, este vector inicial se deforma y se convierte en un nuevo vector de salida $\Delta w = f(z_0 + \varepsilon) - f(z_0)$.
La definición de la derivada nos dice que, para valores microscópicos de $\varepsilon$, la relación entre la salida y la entrada se estabiliza en:
$$\frac{\Delta w}{\varepsilon} \approx f'(z_0) \quad \implies \quad \Delta w \approx f'(z_0) \cdot \varepsilon$$Dado que $f'(z_0)$ es un número complejo fijo para ese punto, multiplicar nuestro pequeño vector $\varepsilon$ por él tiene un significado geométrico muy claro:
Ahora, el detalle clave que convierte esto de una observación vaga a algo concreto: $f'(z_0)$ es un número complejo, y todo número complejo tiene módulo y argumento. Escrito en forma polar:
$$f'(z_0) = |f'(z_0)| \cdot e^{i \cdot \arg(f'(z_0))}$$Y cuando multiplicamos nuestro pequeño vector $\varepsilon$ por este número:
$$\Delta w \approx f'(z_0) \cdot \varepsilon = \underbrace{|f'(z_0)|}_{\text{factor de escala}} \cdot \underbrace{e^{i \cdot \arg(f'(z_0))}}_{\text{giro}} \cdot \varepsilon$$La acción se separa en dos operaciones independientes y perfectamente identificables:
Lo más importante de todo: ambas cosas son las mismas para todos los vectores que salen de $z_0$, sin importar su dirección. La función no tiene favoritas. En la siguiente sección, veremos cómo esta propiedad se traduce en una restricción algebraica muy concreta sobre la matriz que describe el mapeo.
Si la función favoreciera alguna dirección específica (por ejemplo, estirando más los vectores horizontales que los verticales), el valor del límite cambiaría dependiendo de por dónde apuntara $\varepsilon$. En ese escenario, la deformación dejaría de ser uniforme, el límite no sería único y la función no sería diferenciable.
Idea principal: La derivada compleja satisface exactamente las mismas reglas aritméticas que la derivada real. No hay sorpresas aquí: la demostración es prácticamente idéntica porque el límite funciona igual.
Si $f$ y $g$ son diferenciables (en sentido complejo) en $z_0$, entonces:
Linealidad:
$$(f + g)'(z_0) = f'(z_0) + g'(z_0), \qquad (cf)'(z_0) = c \cdot f'(z_0), \quad c \in \mathbb{C}$$Regla del producto:
$$(fg)'(z_0) = f'(z_0)g(z_0) + f(z_0)g'(z_0)$$Regla del cociente (si $g(z_0) \neq 0$):
$$\left(\frac{f}{g}\right)'(z_0) = \frac{f'(z_0)g(z_0) - f(z_0)g'(z_0)}{[g(z_0)]^2}$$Regla de la cadena: Si $g$ es diferenciable en $z_0$ y $f$ es diferenciable en $g(z_0)$, entonces:
$$(f \circ g)'(z_0) = f'(g(z_0)) \cdot g'(z_0)$$Derivadas de funciones elementales:
| Función | Derivada |
|---|---|
| $z^n$ | $nz^{n-1}$ |
| $e^z$ | $e^z$ |
| $\sin z$ | $\cos z$ |
| $\cos z$ | $-\sin z$ |
| $\ln z$ (rama principal) | $1/z$ |
Todas estas se obtienen aplicando la misma mecánica que en cálculo real, porque las reglas algebraicas del límite son idénticas.
Diferenciabilidad implica continuidad: Si $f$ es diferenciable en $z_0$, entonces $f$ es continua en $z_0$. El recíproco es falso (la continuidad no garantiza diferenciabilidad), como veremos en los ejemplos de Cauchy-Riemann.
Escucha bien porque la diferencia parece técnica pero tiene consecuencias enormes.
Diferenciable en $z_0$: el límite $f'(z_0)$ existe. Punto. No dice nada de los puntos de alrededor. Puedes tener una función diferenciable en un único punto aislado del plano y en ningún otro. El ejemplo que ya viste: $f(z) = |z|^2$ es diferenciable únicamente en $z = 0$.
Analítica (u holomorfa) en un abierto $A$: la función es diferenciable en cada punto del abierto. No en un punto aislado — en toda una vecindad. Esta es una condición radicalmente más fuerte.
Definición formal. Una función $f: A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ es analítica (o holomorfa) en $A$ si es diferenciable en sentido complejo en todo punto $z_0 \in A$.
Si $A = \mathbb{C}$, decimos que $f$ es entera.
Decimos que $f$ es analítica en el punto $z_0$ si existe alguna vecindad de $z_0$ en la que $f$ es analítica.
¿Por qué importa tanto? Porque una función analítica tiene propiedades que van enormemente más allá de la diferenciabilidad ordinaria:
Propiedad asombrosa: Si $f$ es analítica en un abierto $A$, entonces todas sus derivadas de orden superior existen en $A$: $f'$, $f''$, $f'''$, ... hasta el infinito. En análisis real, una función puede ser diferenciable una vez sin que exista la segunda derivada. En $\mathbb{C}$, eso es imposible: la existencia de la primera derivada compleja garantiza suavidad infinita. Este resultado se demuestra más adelante con la teoría de Cauchy.
La jerarquía:
$$\text{Analítica en } A \implies \text{Diferenciable en todo punto de } A \implies \text{Continua en todo punto de } A$$Ninguna de estas implicaciones funciona al revés.
Ejemplos rápidos:
Visualiza cómo la derivada deforma el espacio a nivel microscópico.
Hasta ahora hemos visto la derivada compleja desde adentro: como un límite de cocientes de números complejos. Ahora vamos a mirarla desde afuera, como si fuera una función de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$.
Toda función compleja $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ puede verse como una transformación del plano real:
$$F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \qquad F(x,y) = (u(x,y),\, v(x,y))$$La "derivada" de $F$, en el sentido de cálculo multivariable, es su Matriz Jacobiana, que describe la mejor aproximación lineal y tiene 4 entradas independientes:
$$J_F = \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{pmatrix}$$Esta matriz en general puede realizar rotaciones, escalamientos no uniformes (estirar más en una dirección), cizallamientos (shear) y reflexiones. La pregunta que vamos a responder en las próximas secciones es: ¿qué forma especial tiene esta matriz cuando $f$ es diferenciable en sentido complejo? La respuesta es exactamente las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Cuando $f$ satisface Cauchy-Riemann ($u_x = v_y$, $u_y = -v_x$), con $a = u_x$ y $b = v_x$, la Jacobiana toma la forma:
$$J_f = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$$Esto ya lo sabíamos. Ahora hagamos algo que transforma esta fórmula de abstracta a reveladora: expresar $a$ y $b$ en coordenadas polares. Escribamos:
$$a = r\cos\theta, \qquad b = r\sin\theta, \qquad \text{donde } r = \sqrt{a^2+b^2} \text{ y } \theta = \arctan(b/a)$$Sustituyendo:
$$J_f = \begin{pmatrix} r\cos\theta & -r\sin\theta \\ r\sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix} = r \underbrace{\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}}_{R(\theta) = \text{Rotación por } \theta}$$Y aquí aparece algo hermoso:
$$\boxed{J_f = \underbrace{r}_{\text{Ampliación}} \cdot \underbrace{R(\theta)}_{\text{Rotación pura}}}$$Esto es la Rotación y Ampliación. La diferenciabilidad compleja no es solo una condición algebraica — es la afirmación de que la función, localmente, solo puede rotar y escalar uniformemente el plano. No hay estiramientos preferenciales, no hay cizallamientos, no hay deformaciones. Solo giro y cambio de tamaño, iguales para todos los vectores que salen del punto $z_0$.
¿Qué valen $r$ y $\theta$? Son exactamente el módulo y el argumento de la derivada:
$$r = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{u_x^2 + v_x^2} = |f'(z_0)|, \qquad \theta = \arg(f'(z_0))$$La descomposición polar de la Jacobiana es la misma que escribir $f'(z_0)$ en forma polar y leer sus dos componentes: módulo como factor de ampliación, argumento como ángulo de rotación.
Ejemplo concreto: $f(z) = z^2$ en $z_0 = re^{i\theta}$.
Sabemos que $f'(z_0) = 2z_0 = 2re^{i\theta}$. En cartesianas: $z_0 = r\cos\theta + ir\sin\theta$, luego $a = u_x = 2r\cos\theta$ y $b = v_x = 2r\sin\theta$. La Jacobiana:
$$J_{z^2} = \begin{pmatrix} 2r\cos\theta & -2r\sin\theta \\ 2r\sin\theta & 2r\cos\theta \end{pmatrix} = 2r \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$La ampliación es $|f'| = 2r$; la rotación es por el ángulo $\theta$ del punto. Todo en el número $f'(z_0) = 2re^{i\theta}$.
Aquí está la explicación que cierra el círculo. Preguntémonos: cuando multiplicas un vector de $\mathbb{R}^2$ por un número complejo fijo $w = a + bi$, ¿qué transformación lineal estás haciendo?
Calculemos directamente. Si $z = x + iy$, entonces:
$$w \cdot z = (a+bi)(x+iy) = (ax - by) + i(bx + ay)$$En coordenadas reales, esto transforma el vector $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ en el vector $\begin{pmatrix} ax - by \\ bx + ay \end{pmatrix}$. ¿Qué matriz realiza esa transformación?
$$\begin{pmatrix} ax - by \\ bx + ay \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$¡Ahí está! La multiplicación por el número complejo $w = a + bi$ es exactamente la transformación lineal con matriz $\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$.
No hay nada arbitrario en esa forma. Es la huella algebraica de la multiplicación compleja impresa en $\mathbb{R}^2$.
Por qué la Jacobiana tiene que ser de esa forma: Si $f'(z_0)$ existe, la función actúa localmente como "multiplicar por $f'(z_0)$". Y multiplicar por un número complejo fijo en $\mathbb{R}^2$ siempre da esa estructura. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son precisamente la condición que garantiza que la transformación local sea una multiplicación compleja (con el mismo factor para todas las direcciones).
Una consecuencia que no es menor: el determinante de la Jacobiana es:
$$\det\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} = a^2 + b^2 = |f'(z_0)|^2$$Cuando $f'(z_0) \neq 0$, el determinante es positivo: la transformación preserva la orientación (no voltea las figuras como lo haría un espejo). Una función analítica con derivada no nula no puede "reflejar" nada localmente. Solo rota y amplía.
Para que quede cristalino, aquí está la cadena completa de razonamiento:
La diferenciabilidad compleja no es solo una condición para poder calcular una derivada. Es la garantía de que la función se comporta, en el microscopio, como una transformación perfectamente simétrica: rotar y ampliar. Todo lo demás — la conformidad, la armonicidad de las componentes, la suavidad infinita — es consecuencia de esa simetría.
*Sintaxis: Usa sin(z), cos(z), exp(z), e^z. Usa z^n para potencias.
La sección anterior nos dijo qué son las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Esta nos va a mostrar de dónde vienen, paso a paso, calculando la derivada compleja desde dos direcciones y exigiendo que coincidan.
Calculamos el límite con $h = \Delta x$ (un real). Nos movemos horizontalmente.
$$\frac{f(z_0 + \Delta x) - f(z_0)}{\Delta x} = \frac{u(x_0 + \Delta x, y_0) - u(x_0, y_0)}{\Delta x} + i\frac{v(x_0 + \Delta x, y_0) - v(x_0, y_0)}{\Delta x}$$
Al tomar el límite $\Delta x \to 0$, esto se convierte en las derivadas parciales:
$$f'(z_0) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}$$Ahora, calculamos con $h = i\Delta y$ (imaginario puro). Nos movemos verticalmente.
$$\frac{f(z_0 + i\Delta y) - f(z_0)}{i\Delta y} = \frac{1}{i} \left[ \frac{u(x_0, y_0 + \Delta y) - u(x_0, y_0)}{\Delta y} + i\frac{v(x_0, y_0 + \Delta y) - v(x_0, y_0)}{\Delta y} \right]$$
Usando que $1/i = -i$, distribuimos:
$$= -i\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial y}$$Al tomar el límite $\Delta y \to 0$ y reordenando la parte real e imaginaria:
$$f'(z_0) = \frac{\partial v}{\partial y} - i\frac{\partial u}{\partial y}$$Como la derivada debe ser la misma sin importar la dirección, los dos resultados deben ser idénticos:
$$\left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) + i\left( \frac{\partial v}{\partial x} \right) = \left( \frac{\partial v}{\partial y} \right) - i\left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)$$Igualando las partes reales e imaginarias, obtenemos las Ecuaciones de Cauchy-Riemann:
Esta coincidencia perfecta desde dos direcciones perpendiculares es lo que fuerza la increíble estructura de la diferenciabilidad compleja.
Sea $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ definida en un abierto $A \subseteq \mathbb{C}$.
Condición necesaria: Si $f$ es diferenciable en $z_0 = x_0 + iy_0$, entonces las derivadas parciales de $u$ y $v$ existen en $(x_0, y_0)$ y satisfacen:
Además, la derivada vale:
$$f'(z_0) = \frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) + i\frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0)$$Condición suficiente: Si las derivadas parciales de $u$ y $v$ existen en una vecindad de $z_0$, son continuas en $z_0$, y satisfacen las ecuaciones de C-R en $z_0$, entonces $f$ es diferenciable en $z_0$.
⚠️ Cuidado importante: Las ecuaciones de C-R son necesarias pero no suficientes por sí solas para la diferenciabilidad. El ejemplo clásico es una función cuyas parciales satisfacen C-R en el origen pero que no es continua ahí, por lo que la derivada no existe. La continuidad de las parciales es la condición extra que hace que todo funcione.
Si $f(z) = u(r, \theta) + iv(r, \theta)$ con $z = re^{i\theta}$, las ecuaciones de Cauchy-Riemann toman la forma:
Y la derivada, expresada en polares, vale:
$$f'(z) = e^{-i\theta}\left(\frac{\partial u}{\partial r} + i\frac{\partial v}{\partial r}\right)$$Cuándo usar la versión polar: Cuando la función involucra $|z|$ o $\arg(z)$ directamente, o cuando está definida en sectores angulares o coronas.
Ejemplo — El logaritmo complejo principal: $f(z) = \ln|z| + i\arg(z) = \ln r + i\theta$, para $r > 0$ y $-\pi < \theta < \pi$.
Las componentes son $u = \ln r$ y $v = \theta$. Comprobamos las C-R polares:
$$\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}, \qquad \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta} = \frac{1}{r} \cdot 1 = \frac{1}{r} \quad \checkmark$$ $$\frac{\partial v}{\partial r} = 0, \qquad -\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta} = -\frac{1}{r} \cdot 0 = 0 \quad \checkmark$$Se satisfacen en todo el dominio. La derivada:
$$f'(z) = e^{-i\theta}\left(\frac{1}{r} + i \cdot 0\right) = \frac{e^{-i\theta}}{r} = \frac{1}{re^{i\theta}} = \frac{1}{z}$$La derivada del logaritmo complejo es $1/z$, perfectamente análoga al caso real. El mundo tiene coherencia ✓.
Tenemos $f(z) = (x^2 - y^2) + i(2xy)$.
Calculamos las parciales:
Comprobamos las condiciones C-R:
Las condiciones se cumplen en todo el plano. $f(z)=z^2$ es analítica. Su derivada es $f'(z) = u_x + iv_x = 2x + i(2y) = 2(x+iy) = 2z$.
Tenemos $f(z) = x - iy$.
Calculamos las parciales:
Comprobamos las condiciones C-R:
No se cumplen en ningún punto. Geométricamente es una reflexión, no una roto-homotecia. Aunque es diferenciable en $\mathbb{R}^2$, no lo es en $\mathbb{C}$.
Tenemos $f(z) = x^2 + y^2$.
Calculamos las parciales:
Comprobamos las condiciones C-R:
Las condiciones C-R solo se cumplen en el origen $z=0$. Por lo tanto, $f(z)=|z|^2$ es diferenciable únicamente en $z=0$ y en ningún otro lugar.
Tenemos $f(z) = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Las parciales (para $z \neq 0$):
Las C-R ($u_x=v_y, u_y=-v_x$) solo se cumplen si $x=0$ y $y=0$. Sin embargo, en $z=0$ las parciales no están definidas. Si probamos el límite de la definición en $z=0$ con $h = re^{i\theta}$:
$$ \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \frac{|h|}{h} = \frac{r}{re^{i\theta}} = e^{-i\theta} $$El límite depende de $\theta$ (la dirección de aproximación). Por lo tanto, la derivada no existe en $z=0$. Esta función no es diferenciable en ningún punto.
Recordemos que la exponencial compleja se define como:
$$e^z = e^x(\cos y + i \sin y)$$Entonces $u(x,y) = e^x \cos y$ y $v(x,y) = e^x \sin y$.
Calculamos las derivadas parciales:
Comprobamos C-R:
Las condiciones se cumplen en todo el plano, y las parciales son continuas en todas partes (son combinaciones de funciones elementales continuas). Por lo tanto, $e^z$ es diferenciable en todo $\mathbb{C}$ (es entera).
La derivada:
$$f'(z) = u_x + iv_x = e^x \cos y + ie^x \sin y = e^x(\cos y + i\sin y) = e^z$$La exponencial compleja es su propia derivada, igual que en el caso real. El mundo tiene coherencia.
Una propiedad hermosa de las funciones analíticas (diferenciables complejas) es que son conformes: preservan los ángulos.
Imagina dos curvas suaves que se cruzan en $z_0$ con un ángulo $\alpha$. Cuando aplicas una función analítica $f$, las curvas se transforman en dos nuevas curvas que se cruzan en $f(z_0)$, y el ángulo entre ellas sigue siendo $\alpha$.
Esto sucede porque la derivada $f'(z_0)$ actúa como una roto-homotecia (rotación + escalamiento uniforme). Ambas operaciones preservan ángulos. En contraste, una transformación general de $\mathbb{R}^2$ (como un cizallamiento) deforma los ángulos.
La diferenciabilidad en $\mathbb{C}$ es mucho más restrictiva que en $\mathbb{R}$ o $\mathbb{R}^2$.
| Dominio | Condición de Derivada | Libertad (Parámetros) | Transformación Local |
|---|---|---|---|
| $\mathbb{R}$ (Recta) | Límite por 2 direcciones | 1 (la pendiente) | Escalamiento |
| $\mathbb{R}^2$ (Plano) | Jacobiana 2x2 existe | 4 (independientes) | Rotación, escalado no uniforme, cizallamiento |
| $\mathbb{C}$ (Plano Complejo) | Límite por $\infty$ direcciones (fuerza C-R) | 2 (acoplados) | Solo rotación y escalamiento uniforme |
La Maravilla del Análisis Complejo
Esta rigidez tiene una consecuencia asombrosa: si $f'(z)$ existe en una región, entonces $f''(z)$, $f'''(z)$, y todas las derivadas superiores también existen. No hay funciones "diferenciables solo una vez" en el análisis complejo. Esta propiedad es la que da lugar a la poderosa teoría de series de potencias, el Teorema de la Integral de Cauchy y mucho más.
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